سوال: میزٕچ حد
$500 وٲجِنِس میزِ پؠٹھ $10 Martingale۔ یہِ کوتاہ پھیرِ چھُ پھٕٹان، پھٕٹنس پؠٹھ کوتاہ ہاران، تہٕ کیاہ حد بڑاونہٕ سٟتۍ چھُ کانٛہہ فایدٕ؟
لگاتار شےٚ نۄقصان چھِ اَتھ پھٕٹراوان: فی چکر 1.8%، 100 اسپِنن ہِندین سیشنن منزٕ تقریباً 60%۔ پھٕٹُن چھُ $630 مہنگ۔ حد $5,000 تام بڑاونہٕ سٟتۍ چھُ پھٕٹُن کم (فی چکر 0.25%) تہٕ بوٚڈ ($5,110) گژھان۔ فی ڈالر لاگنہٕ آمٕژ رقمہِ پؠٹھ متوقع نۄقصان چھُ پرتھ حدِ پؠٹھ 2.70%۔
سوال
اکھ گِندن وول چھُ وۄزلِسشرطوۄزُل18 وۄزٕلۍ نمبرن پؠٹھ برابر ادایگی شرط۔ فرانسیسی: rouge۔پوٗرٕ پٔرِو ← پؠٹھ $10 لاگان تہٕ پرتھ نۄقصانہٕ پتہٕ دۄگُن کران، زیٚننہٕ پتہٕ نۆو سرٕ شروٗع کران۔ میزٕچ زیادٕ کھۄتہٕ زیادٕ حد چھےٚ $500۔ (a) کوتاہ لگاتار نۄقصان چھِ شرط بڑاونُک نِظامحِکمتِ عملیشرط بڑاونُک نِظامکانٛہہ تہِ قاعدٕ یُس پٔتِمین نتیجن ہِندِ بنیادٕ پؠٹھ شرطٕچ رقم بدلاوان چھُ۔ منفی نِظام چھِ یہِ نۄقصانہٕ پتہٕ بڑاوان، مثبت زیٚنہٕ پتہٕ۔پوٗرٕ پٔرِو ← پھٕٹراوان؟ (b) فی چکر اِمکانرِیاضیاِمکانکُنہِ نتیجُک اِمکان، 0 پؠٹھٕ 1 تام یا 0% پؠٹھٕ 100% تام۔ اکھ نمبر: 1/37 = 2.70%۔پوٗرٕ پٔرِو ← کوتاہ چھُ؟ (c) پھٕٹنس پؠٹھ کوتاہ چھُ ہارنہٕ یِوان؟ (d) $5,000 حد کِتھہٕ پٲٹھۍ چھےٚ جواب بدلاوان؟ (e) کیاہ کانٛہہ حد چھےٚ نِظام مُنافع بخش بناوان؟
(a)–(c) ہُند حل
شرط رقمہٕ: 10، 20، 40، 80، 160، 320۔ سَتِم آسِہے 640 > 500، تیٚلہِ چھِ شےٚ نۄقصان اَتھ پھٕٹراوان۔ (b) وۄزلِس پؠٹھ p(نۄقصان) = 19/37؛ (19/37)⁶ = 0.0183، فی چکر تقریباً 1.8%۔ اکھ چکر چھُ اوسطن تقریباً زٕ اسپِن چلان، تیٚلہِ 100 اسپِنن ہِندِس سیشنس منز چھِ تقریباً 50 چکر تہٕ p(کم از کم اکھ پھٕٹُن) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%۔ (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، یُس 63 بُنیٲدی یونِٹپونٛسہٕیونِٹسۄ بنیٲدی شرطٕچ رقم یتھ منز کانٛہہ نِظام یا گِندن وول کام چھُ کران۔ شرط بڑاونۍ نِظام چھِ یونِٹن منز بیان کرنہٕ یِوان تاکہ تِم پرتھ میزس پؠٹھ لاگوٗ گژھن۔پوٗرٕ پٔرِو ← چھُ، تمہِ $10 کِس مقابلس منز یُس چکر زیٚننہٕ خٲطرٕ کوشش کران اوس۔
(d) ہُند حل
$5,000 پؠٹھ: 2,560 تام شرط رقمہٕ چھےٚ اجازت؛ دَہِم شرط رقم، 5,120، چھےٚ رد گژھان۔ نَو نۄقصان چھِ اَتھ پھٕٹراوان: (19/37)⁹ ≈ فی چکر 0.25%، 100 اسپِنن ہِندین سیشنن منزٕ تقریباً 11%۔ پھٕٹنس پؠٹھ نۄقصان: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110۔ گِندن والن چھےٚ اکھ کم سپدن وٲجِنۍ تباہی اکِس بٔڈِس تباہی ہِنزِ قیمتہِ پؠٹھ خٔرید کٔرمٕژ۔ واریاہ سیشنن منز چھےٚ پھٕٹنٕچ متوقع قیمت p × نۄقصان ≈ 0.0183 × 630 = $500 حدِ پؠٹھ فی چکر $11.5 تہٕ $5,000 پؠٹھ 0.0025 × 5,110 = $12.8؛ دۄشوٕنۍ چھِ نزدیک مگر برابر نہٕ، تہٕ پرتھ اکھ چھُ چکرُک متوقع نۄقصانرِیاضیمتوقع نۄقصانمتوقع قدر ضرب کُل شرط رقم؛ اکِس سیشَنس یا اکِس مُدتس منز اوسط ہارنہٕ آمٕژ رقم۔پوٗرٕ پٔرِو ← تہٕ سُہ $10 یُس زیٚنن وٲلۍ چکر کمٲوان چھِ۔
(e) ہُند حل
نہٕ۔ فی چکر متوقع نۄقصان = (چکرس منز متوقع کُل شرط رقم) / 37، پرتھ حدِ پؠٹھ، کیازِ پرتھ شرط چھےٚ پنٕنۍ −1/37۔ حد چھےٚ صرف یہِ فیصلہٕ کران زِ نۄقصان کِتھہٕ پٲٹھۍ چھُ واریاہن لۄکٕٹین زیٚننن تہٕ کیٚنٛہہ بٔڈین نۄقصانن منز تقسیم گژھان۔ حد نہٕ آسنہٕ تہٕ لامحدود گِندنٕکِس سرمایسپونٛسہٕگِندنُک سرمایہسۄ کُل رقم یۄسہٕ گِندنہٕ خٲطرٕ الگ تھاونہٕ چھےٚ یِوان۔ سرمایہ انتظام چھُ یہِ فیصلہٕ زِ تمہِ منزٕ کوتاہ گژھہِ پرتھ شرطس تہٕ پرتھ سیشَنس منز خطرس منز تھاونہٕ۔پوٗرٕ پٔرِو ← سٟتۍ آسِہے نِظام “کامیاب”، اتھ معنس منز زِ یہِ پھٕٹِہے نہٕ کُنہِ وِزِ، تہٕ یہِ لاگِہے لامحدود رقم یٚمیُک متوقع نۄقصان تمہِ لامحدود رقمہِ ہُند 2.70% آسِہے۔ میزٕچ حدمیزمیزٕچ حداِجازت شُدہ کم کھۄتہٕ کم تہٕ زیادٕ کھۄتہٕ زیادٕ شرط۔ زیادٕ کھۄتہٕ زیادٕ حدٕے چھےٚ دۄگنہٕ کرن وٲلۍ نِظام روکان۔پوٗرٕ پٔرِو ← چھےٚنہٕ Martingaleحِکمتِ عملیMartingaleشرط بڑاونُک نِظام یُس پرتھ نۄقصانہٕ پتہٕ شرط دۄگنہٕ چھُ کران۔ یہِ کیاہ چھُ کران تہٕ کیاہ چھُنہٕ کران، تَمیُک حال وُچھِو حِکمتِ عملی حِصس منز۔پوٗرٕ پٔرِو ← کامیاب گژھنہٕ نِشہِ روکان۔ حساب چھُ روکان۔
زٕ اصلی میز
Thorp سٕنٛز مِثال چھےٚ $1 وٲجِنۍ میز یتھ $1,000 زیادٕ کھۄتہٕ زیادٕ حد چھےٚ، یتھ پؠٹھ اکھ گِندن وول اکھ اکھ ڈالر کٔرِتھ شامہٕ کِس کھیٚنس خٲطرٕ $30 زیٚننٕچ اُمید تھاوان چھُ۔ شرط رقمہٕ 1، 2، 4 … 512 چھےٚ دَہ شرطن ہِنز اجازت دِوان، تیٚلہِ چھِ لگاتار دَہ نۄقصان نِظام پھٕٹراوان: یوٗرپی پہیس پؠٹھ 785 چکرن منزٕ اکھ پھیر (امریکی پہیس پؠٹھ 613 منزٕ اکھ پھیر)، $1,023 قیمتہِ پؠٹھ۔ ترٛہن چکرن ہُند سورُے کامیاب گژھُن چھُ 96.2% وقتس سپدان۔ باقی 3.8% چھِ تقریباً $1,000 ہاران، تہٕ شامِچ اوسط نتیجہٕ چھُ −$9.17، یُس بِلکُل تمہِ $339 ہُند 1/37 چھُ یُس ترٛہ چکر اوسطن لاگان چھِ۔ $5 وٲجِنۍ میز یتھ $2,000 زیادٕ کھۄتہٕ زیادٕ حد چھےٚ، چھےٚنہٕ کانٛہہ الگ: $1,280 تام شرط رقمہٕ چھےٚ نَو شرطن ہِنز اجازت دِوان، تہٕ پھٕٹُن چھُ یوٗرپی پہیس پؠٹھ 403 چکرن منزٕ اکھ پھیر (امریکی پہیس پؠٹھ 323 منزٕ اکھ پھیر) یِوان تہٕ $2,555 مہنگ۔
اکھ امیر گِندن وول
نِظامس دِیِو لۄکٕٹِس حدِ ہِنزِ جایہِ اکھ گہرٕ سرمایہ: 1,000 یونِٹ، اکھ یونِٹ بُنیٲدی شرط تہٕ وۄزلِس پؠٹھ 1,000 اسپِن، تہٕ یُتھ اَگلہٕ دۄگُن بچمٕژ رقمہِ کھۄتہٕ زیادٕ آسہِ، دوبارٕ اکِس یونِٹس پؠٹھٕ شروٗع۔ اَسۍ کٔر یِژھہٕ دَہ لچھ شامہٕ سِمولیٹ۔ یوٗرپی پہیس پؠٹھ چھےٚ 52% فایدس منز ختم گژھان، 21% چھےٚ سورُے ہاران، تہٕ اوسط نتیجہٕ چھُ −124 یونِٹ۔ تتھ کھیلس منز تہِ یتھ منز کانٛہہ صِفرپہیہٕصِفرسُہ اکُے سبز خانہٕ یُس کانٛہہ برابر ادایگی، درجن یا کالَم شرط چھےٚنہٕ ڈھکان؛ کیسنو برتری ہُند ماخذ۔ بیٚیہِ ناو: اکھ صِفر، 0۔پوٗرٕ پٔرِو ← نہٕ آسہِ، یتھ منز پرتھ شرط مُنصفانہٕ آسہِ، ختم گژھہَن صرف تقریباً 60% فایدس منز۔ عام شام چھےٚ اکھ لۄکٕٹ زیٚنُن؛ اوسطٕچ قیمت چھےٚ تِمہٕ شامہٕ ادا کران یِمہٕ صِفرس پؠٹھ ختم گژھان چھےٚ۔
سبق
کیسنو چھِ حد پنٕنِس تغیُرسرِیاضیتغیُراکھ پیمانہٕ زِ نتیجہٕ متوقع قدرِ ہِندِس گیرس منز کوتاہ دور چھِ پھہلان۔ اکھ نمبر شرطہِ منز زیادٕ، برابر ادایگی شرطن منز کم۔پوٗرٕ پٔرِو ← قٲبوٗ کرنہٕ خٲطرٕ مقرر کران، نِظام ہراونہٕ خٲطرٕ نہٕ۔ Martingale ہراوُن چھُ اکھ ضمنی اثر یُس تِمن خوشی سان قبوٗل چھُ، تہٕ حساب ہراوِہے اَتھ تِتھہٕ تہِ۔ یُس گِندن وول سمجھان چھُ زِ مسلہٕ چھُ حد، تٔمۍ چھُ ٹینٛگ ژھانٛڈمُت تہٕ اَتھ ڈھلوان سمجھمُت۔
فارمولا
سوال
یہِ چھُ توٚہۍ اکِس زیادٕ حدِ تام بچنہٕ دِوان، یتھ پؠٹھ پھٕٹُن کم تہٕ بوٚڈ چھُ۔ فی ڈالر متوقع نۄقصان چھُ بدلان نہٕ۔
شرط رقمہٕ 10، 30، 70، 150، 310: $500 حد چھےٚ پانٛژن نۄقصانن پتہٕ واتان، تہٕ پھٕٹُن چھُ $570 مہنگ۔ سُے 2.70%۔
یُتھ نہٕ اکھ گِندن وول تمہِ کھۄتہٕ زیادٕ لاگِ یوٚت کیسنوٕچ رٔٹمٕژ رقم آرامہٕ سان ادا ہیٚکہِ کٔرِتھ۔ تغیُرُک انتظام۔
ریاضی سٟتۍ مزٕ
گۄڈٕ کٔرِو یِم پانے حل۔ پرتھ اکھ حل چھُ ژھوٚپتھ؛ ییلہٕ توٚہۍ تیار آسِو، تیٚلہِ کھولِو۔
اکھ Martingaleحِکمتِ عملیMartingaleشرط بڑاونُک نِظام یُس پرتھ نۄقصانہٕ پتہٕ شرط دۄگنہٕ چھُ کران۔ یہِ کیاہ چھُ کران تہٕ کیاہ چھُنہٕ کران، تَمیُک حال وُچھِو حِکمتِ عملی حِصس منز۔پوٗرٕ پٔرِو ← چھُ وۄزلِسشرطوۄزُل18 وۄزٕلۍ نمبرن پؠٹھ برابر ادایگی شرط۔ فرانسیسی: rouge۔پوٗرٕ پٔرِو ← پؠٹھ $100 سٟتۍ شروٗع گژھان تہٕ پانس اکِس سائیکلس منز زیادٕ کھۄتہٕ زیادٕ n شرطہٕ اجازت دِوان: مسلسل n ہارن پتہٕ چھُ سُہ ترٲوِتھ نۆو سرٕ شروٗع کران۔ اکِس سائیکلُک اوسط نتیجہٕ لیٚکھِو n ہِنزِ اکِس فارمولہِ کِس صورتس منز، تہٕ یوٗرپی پہیس پؠٹھ 5، 6 تہٕ 7 شرطن خٲطرٕ حساب کٔرِو۔
حل ہاوِو
جواب اوسط چھُ 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 شرطن خٲطرٕ −$14.26، 6 خٲطرٕ −$17.35 تہٕ 7 خٲطرٕ −$20.52۔ زیادٕ شرطن ہِنز اجازت چھےٚ اوسط سائیکل خراب بناوان، بہتر نہٕ۔
سائیکل چھُ $100 زیٚنان، سِوا تمہِ صورتہٕ ییٚلہِ سٲری n شرطہٕ ہارن، یۄسہٕ qⁿ امکانہٕ سٟتۍ سپدان چھُ، یتہِ q = 19/37۔ ییٚلہِ سٲری ہارن، شرطٕچ رقمہٕ 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ چھےٚ جمع گٔژھِتھ 100 × (2ⁿ − 1) بنان۔ تیٚلہِ چھُ اوسط 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)۔
یتہِ چھُ 2q = 38/37، 1 کھۄتہٕ کیٚنٛہہ زیادٕ، تیٚلہِ چھُ (2q)ⁿ n سٟتۍ بڑان تہٕ اوسط وَسان: n = 5 چھُ 1.1426 تہٕ −$14.26 دِوان؛ n = 6 چھُ 1.1735 تہٕ −$17.35 دِوان؛ n = 7 چھُ 1.2052 تہٕ −$20.52 دِوان۔ زیٚوٕٹھ سیڑھی چھےٚ کم لٹہٕ ہاران، سائیکلن ہِندِ 3.6%، 1.8% تہٕ 0.9% منز، مگر پرتھ ہار چھےٚ دُگنہٕ بٔڈ، تہٕ پرتھ سائیکلس منز چھِ زیادٕ پونٛسہٕ میزس پؠٹھ گژھان، پرتھ شرطٕچ 2.70% پؠٹھ۔
امریکی پہیس پؠٹھ چھُ 2q = 40/38 تہٕ عدد چھِ −$29.24، −$36.04 تہٕ −$43.20 (Taylor، 2021)۔ صِفرپہیہٕصِفرسُہ اکُے سبز خانہٕ یُس کانٛہہ برابر ادایگی، درجن یا کالَم شرط چھےٚنہٕ ڈھکان؛ کیسنو برتری ہُند ماخذ۔ بیٚیہِ ناو: اکھ صِفر، 0۔پوٗرٕ پٔرِو ← ورٲے کھیلس منز چھُ 2q = 1، تہٕ پرتھ سائیکلُک اوسط چھُ بالکل صِفر، سیڑھی یوتاہ تہِ زیٚوٕٹھ آسہِ۔
“grand Martingale” چھُ ہارِ پتہٕ شرطٕچ رقم دُگنہٕ کران تہٕ اکھ یونِٹپونٛسہٕیونِٹسۄ بنیٲدی شرطٕچ رقم یتھ منز کانٛہہ نِظام یا گِندن وول کام چھُ کران۔ شرط بڑاونۍ نِظام چھِ یونِٹن منز بیان کرنہٕ یِوان تاکہ تِم پرتھ میزس پؠٹھ لاگوٗ گژھن۔پوٗرٕ پٔرِو ← جمع کران، تیٚلہِ چھےٚ شرطٕچ رقمہٕ 1، 3، 7، 15، 31 … گژھان۔ ییٚلہِ گۄڈنِچ زیٚن 1، 2، 3 یا k شرطس پؠٹھ یِیہِ، توٚہۍ کوتاہ چھِو اَگہٕ؟ $10 یونِٹ تہٕ $500 زیادٕ کھۄتہٕ زیادٕ شرط پؠٹھ کوتاہ لٹہٕ چھُ سائیکل پُھٹان، تہٕ اکِس سائیکلٕچ اوسط قیمت کوتاہ چھےٚ؟
حل ہاوِو
جواب k شرطس پؠٹھ زیٚن چھُ توٚہۍ k یونِٹ اَگہٕ ترٲوان: +1، +2، +3 تہٕ ییٚتھۍ پٲٹھۍ۔ $10 تہٕ $500 پؠٹھ چھُ سائیکل پانٛژن ہارن پتہٕ پُھٹان، سائیکلن ہُند 3.57%، −$570 سٟتۍ۔ اوسطن چھُ اکھ سائیکل $85.73 لاگنس منزٕ $2.32 ہاران: 2.70%۔
k شرطٕچ رقم چھےٚ 2ᵏ − 1 یونِٹ: 1، 3، 7، 15، 31۔ گۄڈنِکۍ k − 1 شرطٕچ رقمہٕ چھےٚ جمع گٔژھِتھ 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1۔ k شرطس پؠٹھ زیٚن چھُ 2ᵏ − 1 دِوان، تیٚلہِ چھُ سائیکل (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k یونِٹ اَگہٕ ختم گژھان: زیٚنہِ برونٛہہ پرتھ ہارِ خٲطرٕ اکھ اضافی یونِٹ۔
$10 فی یونِٹ پؠٹھ چھےٚ شرطٕچ رقمہٕ $10، $30، $70، $150 تہٕ $310؛ اَگلہٕ، $630، چھُ $500 حدہِ کھۄتہٕ زیادٕ۔ مسلسل پانٛژھ ہار، (19/37)⁵ = 3.57%، چھےٚ 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 خرچ کران۔
اوسط: زیٚنہٕ چھےٚ k = 1 پؠٹھٕ 5 تام (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 امکانہٕ سٟتۍ $10 × k اَنان، تہٕ پُھٹُن چھُ 3.57% امکانہٕ سٟتۍ $570 نیوان؛ اکہِ وِزِ −$2.32۔ فی سائیکل لاگنہٕ آمٕتۍ پونٛسہٕ چھِ اوسطن $85.73، تہٕ 2.32/85.73 = 2.70%۔ یتھے میزس پؠٹھ عام Martingale چھُ شےٚ ہارن پتہٕ پُھٹان، سائیکلن ہُند 1.83%، −$630 سٟتۍ، تہٕ $64.20 لاگنس منزٕ $1.74 ہاران: بیٚیہِ 2.70%۔
اکھ گِندن وول چھُ وۄزلِس پؠٹھ اکِس تِتھ میزس پؠٹھ Martingale گِندنُک منصوبہٕ کران یَمِچ حد $1,000 چھےٚ، $1 گۄڈنِچہِ شرطہِ سٟتۍ، تیٚلہِ چھےٚ دَہ شرطہٕ ممکن: $1، $2، $4 تہٕ ییٚتھۍ پٲٹھۍ $512 تام۔ کوتاہ لٹہٕ چھُ سائیکل سٲری دَہ ہاران، اَتھ کوتاہ وقت چھُ اوسطن لگان، تہٕ 200 شرطن ہِنز کوتاہ شام چھےٚ ییٚتھۍ پٲٹھۍ ختم گژھان؟
حل ہاوِو
جواب سائیکل چھُ سٲری دَہ لگ بگ 784 منز اکہِ لَٹہِ ہاران، یُس $1,023 خرچ کران چھُ۔ یہِ چھُ اوسطن لگ بگ 1,600 شرطہٕ، تہٕ 200 شرطن ہِنز شام چھےٚ لگ بگ 11% وقتہٕ دیوارِ سٟتۍ ٹکراوان۔ سائیکل چھُ وُنۍ تہِ اوسطن $11.31 لاگنس منزٕ $0.31 ہاران: 2.70%۔
وۄزلِس پؠٹھ شرط چھےٚ 19/37 امکانہٕ سٟتۍ ہاران، صِفر شٲمِل۔ مسلسل دَہ: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، لگ بگ 784 منز 1۔ شرطٕچ رقمہٕ 1 + 2 + 4 + … + 512 چھےٚ جمع گٔژھِتھ $1,023۔
اکھ سائیکل چھُ اوسطن 2.05 شرطہٕ نیوان، تیٚلہِ چھِ 784 سائیکل لگ بگ 1,600 شرطہٕ نیوان۔ اسپِن پتہٕ اسپِن گٔنٛزرِتھ، دَہن ہارن ہِنز لڑی چھےٚ 200 شرطن منز کُنہِ نہٕ کُنہِ جایہِ 11.3% وقتہٕ یِوان۔
تباہین درمیان چھُ گِندن وول فی سائیکل $1 زیٚنان: خرابہٕ برونٛہہ لگ بگ $783، پتہٕ −$1,023، پورٕ دورس منز لگ بگ −$240۔ فی سائیکل: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31۔ فی سائیکل لاگنہٕ آمٕتۍ پونٛسہٕ: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31۔ تہٕ −0.31/11.31 = −2.70%۔
مُقابلہٕ کٔرِو $500 حدہِ پؠٹھ $10 گۄڈنِچ شرط، شےٚ شرطہٕ: دیوار چھےٚ 55 سائیکلن منز اکہِ لَٹہِ یِوان، تہٕ 200 شرطن ہِنز شام چھےٚ 84% وقتہٕ اَتھ سٟتۍ مِلان۔ ہیوٚر حد چھےٚ تباہی نایاب تہٕ بٔڈ بناوان، سستہٕ نہٕ۔
مزاحیہ وقفہٕ
پرتھ حدِ پؠٹھ کم تہٕ بوٚڈ۔ ضرب حٲصل چھُ مستقل۔
ماخذ
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.